Partie C - Recherche d'un lieu géométrique 

Situation : dans un repère orthonormé du plan, on se donne la parabole  \(P\)  d'équation \(y=2x^2-x+1\) et la famille de droites  \(D_p\)  d'équations \(y=3x+p\)  (à chaque valeur de \(p\) , correspond une droite).

Questions

Lorsque la parabole \(P\)  et la droite \(D_p\) ont deux points d'intersection, on appelle  \(\text I_p\) le milieu des deux points d'intersection.
La suite du problème a pour but de déterminer le lieu géométrique des points  \(\text I_p\) , c'est-à-dire l'ensemble de tous les points  \(\text I_p\) obtenus lorsque  \(p\) prend toutes les valeurs possibles (celles qui font que la parabole et la droite se coupent en deux points). On nomme  \(E\) l'ensemble des points \(\text I_p\) .

1. Conjecture

Sur GeoGebra, construire le point  \(\text I_p\)  (on le nommera \(\text I\)  sur le graphique). En cliquant droit sur le point \(\text I\) , activer la trace de ce point, puis faire varier la valeur de  \(p\) avec le curseur.
Quelle conjecture peut-on formuler sur le lieu géométrique du point  \(\text I\) ? On énoncera la conjecture le plus précisément possible.
On nommera  \(\Delta\) l'ensemble de points conjecturés (on n'a pas encore prouvé que  \(\Delta\) est le lieu  \(E\) recherché).

2. Démonstration

Il faut démontrer que le lieu  \(E\) recherché est l'ensemble  \(\Delta\) conjecturé. Pour cela, on procède en deux étapes : on démontre d'abord que \(E\subset\Delta\) , c'est-à-dire que tout point de  \(E\) appartient à \(\Delta\)  ; puis que \(\Delta\subset E\) , c'est-à-dire que, réciproquement, tout point de  \(\Delta\) appartient à \(E\) .

• Étape 1 : tout point de  \(E\) appartient à \(\Delta\) .
  Soit \(I_p\) un point quelconque de \(E\) . Calculer, en fonction de \(p\) , les abscisses des deux points d'intersection de la parabole et de la droite. En déduire l'abscisse puis l'ordonnée du point \(I_p\) . Démontrer alors que \(I_p\in\Delta\) .
  On a ainsi démontré que tout point appartenant à  \(E\) appartient bien à  \(\Delta\) , c'est-à-dire que   \(E\subset\Delta\) . 
  
• Étape 2 (réciproque) : tout point de  \(\Delta\) appartient à \(E\) .
  Soit un point  \(J\) quelconque de \(\Delta\) . Que peut-on dire de ses coordonnées \(x_J\)  et  \(y_J\) ? Montrer qu'il existe une droite  \(D_p\) qui passe par \(J\)  (pour cela, on déterminera la valeur de  \(p\) pour laquelle la droite  \(D_p\) passe par le point  \(J\) ).
  Expliquer pourquoi  \(J\) est le milieu des points d'intersection de  \(P\)  et  \(D_p\) . 
  On a ainsi démontré que \(J\in E\) , et donc que tout point appartenant à  \(\Delta\) appartient bien à \(E\) , c'est-à-dire que  \(\Delta\subset E\) . 
  
• Rédiger une conclusion.